Catatan Kriptografi 1

Tulisan ini merupakan catatan perkuliahan kriptografi yang diajarkan oleh Ibu Dra. Diah Junia Eksi Palupi, M.S

KRIPTOGRAFI

Kriptografi berasal dari kata crypto yang artinya rahasia dan graf artinya tulisan. Ada yang mendefiniskan kriptografi adalah seni menulis rahasia. Kemudian, schneier (1996) mengatakan kriptografi adalah ilmu sekaligus seni untuk menjaga keamanan pesan (message).

Secara matematika, kriptografi adalah sistem kripto. Sistem Kripto adalah pasangan P, C, K, E, D, "xÎ P dan "kÎ K terdapat fungsi eÎ E, e_k (x) = y merupakan chipertext dalam C . Sehingga d_k (y) = x untuk fungsi dÎ D.

dimana

P = himpunan Plaintext (pesan yang masih asli/ belum dikodekan)

C = himpunan Chipertext (pesan yang telah dikodekan/ disandikan)

K = himpunan kunci (parameter yang digunakan untuk transformasi enkripsi dan deskripsi)

E = Proses Enkripsi (proses pengkodean plaintext menjadi chipertext)

D = Proses Deskripsi (proses penterjemahan chipertext kembali menjadi plaintext)

Kriptografer adalah pengguna kriptografi.

Dibawah ini merupakan ilustrasi dari urutan proses kriptografi.

Untuk mempelajari Kriptografi lebih lanjut, sebaiknya kita mengetahui/ mengulang kembali dasar-dasar teori bilangan. Karena konsep-konsep teori bilangan akan banyak dipakai dalam mempelajari kriptografi.

Teori Bilangan

Teorema Euclidean

Misalkan a dan b adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat b > 0 . Jika a dibagi dengan b maka terdapat dua buah bilangan bulat unik h (hasil bagi) dan s (sisa pembagian), sedemikian sehingga

a = b.h + s dengan 0 ≤ s < h

Aritmatika Modulo

Misalkan a dan b bilangan bulat (b > 0). Operasi a mod b (dibaca “a modulo b”) memberikan sisa jika a dibagi dengan b.

a mod b = s sedemikian sehingga a = b . h + s, dengan 0 ≤ s < b.

b disebut modulus atau modulo dan hasil aritmatika modulo b terletak didalam himpunan {0, 1, 2, …, b – 1).

Contoh:

5 mod 3 = 2 karena 5 = 3 . 1 + 2

13 mod 3 = 1 karena 13 = 3.4 + 1

– 13 mod 3 ≠ –1 karena – 13 =3.(–4) + (–1) tidak sesuai dengan algoritma pembagian. Hal ini disebabkan oleh sisa pembagian harus besar dari nol dan lebih kecil dari hasil pembagian. (0 ≤ s <>

– 13 mod 3 = 2 karena – 13 = 3.(–5) + 2

101 mod 7 = 3 karena 101 = 7.14 + 3

– 101 mod 7 ≠ –3 karena – 101 =7.(–14) + (–3) tidak sesuai dengan algoritma pembagian. Hal ini disebabkan oleh sisa pembagian harus besar dari nol dan lebih kecil dari hasil pembagian.(0 ≤ s <>

– 101 mod 7 = 4 karena – 101 = 7.(–15) + 4

Bilangan Modulus 3

Seperti yang terlihat dalam garis oval diatas, bilangan-bilangan modulo tiga = {0, 1, 2}

Bilangan-bilangan Bulat Modulo 3.

Bilangan-bilangan Bulat Mudulo n

Operasi Penjumlahan Bilangan Modulo

mod n + b mod n = (a + b) mod n

Contoh :

5 mod 3 + 13 mod 3 = 18 mod 3

2 + 1 = 0

= 0

3 mod 3 = 0

0 = 0

Bersambung Ke Catatan Kriptografi 2

PEMBUKTIAN TEOREMA PHYTAGORAS

Barangkali Teorema Phytagoras sudah tidak asing lagi bagi kita, bahkan mungkin sudah sering menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari. Diantara sekian banyak teorema-teorema yang ada dalam matematika, teorema ini merupakan salah satu teorema yang cukup terkenal.

Namun jika ada diantara kita yang belum tahu atau lupa teorema tersebut, dapat melihat kembali teorema tersebut. Adapun teorema tersebut sebagai berikut:

Perhatikan segitiga siku-siku dibawah ini :

Dari gambar tersebut, panjang ketiga sisinya adalah a, b, dan c satuan. Menurut Teorema Phytagoras, dari panjang ketiga sisi segitiga siku-siku tersebut berlaku persamaan :

c² = a² + b²

dari persamaan tersebut juga dapat dihasilkan persamaan

a² = c² – b²

atau

b² = c² – a²

Kenapa bisa ditarik persamaan seperti itu? Apa benar seperti itu?

Seandainya pertanyaan-pertanyaan tersebut muncul, barangkali jawabannya adalah pembuktian dari Teorema tersebut. Jika Teorema tersebut tidak terbukti, atau ada satu kasus yang membuat kontradiksi maka Teorema tersebut akan gugur/ tidak berlaku lagi.

Nah, bagaimana dengan Teorema Phytagoras? Ada beberapa cara membuktikan Teorema tersebut. Salah satunya adalah dengan cara berikut ini.

Perhatikan Gambar dibawah ini.

Pada gambar diatas, terdapat 4 segitiga siku-siku yang sebangun dan sama besar, persegi dengan panjang sisi c dan persegi dengan panjang sisi a + b. Luas Segitiga siku-siku tersebut masing-masing adalah, luas persegi yang didalam (warna pink) adalah c² dan luas persegi yang besar (yang terluar) adalah (a + b)² = a² + 2ab + b².

Dari gambar bidang tersebut, dapat kita peroleh persamaan yaitu :

Luas persegi yang terluar = luas persegi yang didalam + 4 luas segitiga siku-siku.

a² + 2ab + b² = c² + 2 ab

a² + 2ab + b² – 2ab = c²

a² + b² = c²

Pembuktian selesai. Dengan demikian, terbukti c² = a² + b²

Pahala Terakhir

PAHALA TERAKHIR SEORANG ISTERI

Kesalahan yang disangka ringan, tetapi rupa-rupanya mendatangkan rasa bersalah yang tidak pernah berkesudahan hingga hari ini.

Untuk pengetahuan semua, dikalangan sahabat-sahabat dan saudara, saya dianggap sebagai seorang isteri yang baik. Walau bagaimana penat dan sibuk sekalipun, urusan rumahtangga seperti melayan suami dan mengurus anak-anak tidak pernah saya abaikan. Kami dianggap pasangan romantis.

Suami saya seorang lelaki yang amat memahami jiwa saya, lemah lembut terhadap keluarga, ringan tulang untuk bersama-sama mengurus rumah apabila pulang dari kerja dan lain-lain sifat yang baik ada pada dirinya.

Waktu sholat dan waktu makan merupakan waktu terbaik untuk mengeratkan ikatan kekeluargaan dengan sholat berjamaah dan makan bersama. Pada waktu inilah biasanya beliau akan memberi tazkirah dan peringatan kepada kami agar menjadi hamba yang bertakwa.

Dari sudut layanan seorang isteri terhadap suami, saya amat memahami akan kewajiban yang harus ditunaikan. Itulah peranan asas seseorang isteri terhadap suaminya. Allah menciptakan Hawa semata-mata untuk melayan Adam dan menghiburkannya. Meskipun syurga dipenuhi kekayaan dan kemewahan, namun tidak mampu mengisi jiwa Adam yang kosong melainkan dengan diciptakan Hawa.

Oleh itu saya menganggap tugas mengurus rumahtangga, mengurus anak-anak dan bekerja di kantor adalah tugas nomor dua setelah tugas pertama dan utama, yaitu melayani suami.

Sebagai seorang yang juga sibuk di kantor, adakalanya rasa penat dan letih menghambat sehingga saya pulang ke rumah. Tetapi saya bersyukur karena suami amat memahaminya.

Berkat tolong-menolong dan saling pengertian, hal tersebut tidak pernah menjadi masalah di dalam rumahtangga. Bahkan sebaliknya menumbuhkan rasa kasih dan sayang antara satu sama lain karena masing-masing dapat menerimanya dan mengorbankan kepentingan masing-masing.

Sehingga tiba pada satu hari yang mana pada hari itu datangnya ketentuan Allah yang tidak dapat diubah oleh sesiapapun. Hari itu merupakan hari bekerja. Agenda saya di kantor amat sibuk. Hingga pukul lima petang saya bersiap-siap untuk pulang ke rumah. Penat dan letih tidak dapat digambarkan.

Apabila sampai dirumah, saya lihat suami telah pulang dari kantor. Dia telah membersihkan dirinya dan sedang melayani anak-anak, bermain dan bergurau senda.

Dia kelihatan sungguh gembira pada petang itu. Saya begitu terhibur melihat telatah mereka, karena suasana seperti itu jarang berlaku pada hari bekerja. Maklumlah masing-masing penat.

Suami sadar saya amat penat pada hari itu. Oleh itu dia meminta agar saya tidak memasak, sebaliknya mencadangkan agar kami makan di sebuah restoran makanan laut di pinggir kota.

Dengan senang saya dan anak-anak menyetujuinya. Kami pulang ke rumah agak lewat, kira-kira jam 11 malam. Apa tidaknya, kami berbual-bual panjang ketika makan, bergurau-senda dan usik-mengusik.

Seperti tiada hari lagi untuk esok. Selain anak-anak, suami sayalah orang yang kelihatan paling gembira dan paling banyak modal untuk bercakap pada malam itu. Hampir jam 12 barulah masing-masing merebahkan badan di katil.

Anak-anak yang kekenyangan segera mengantuk dan lelap. Saya pun hendak melelapkan mata, tetapi belaian lembut suami mengingatkan saya agar tidak tidur lagi. saya coba menggagahkan diri melayaninya, tetapi hati saya hanya separuh jaga, separuh lagi tidur.

Akhirnya saya berkata kepadanya sebaik dan selembut mungkin, “Abang, Zee terlalu penat,” lalu saya menciumnya dan memberi salam sebagai ucapan terakhir sebelum tidur.

Sebaliknya suami saya terus merangkul terus merangkul tubuh saya. Dia berbisik kepada saya bahwa itu adalah permintaan terakhirnya. Namun kata-katanya itu tidak meresap ke dalam hati saya karena saya telah berada di alam mimpi.

Suami saya perlahan-lahan melepaskan rangkulannya. Keesokan harinya di kantor, perasaan saya agak tak menentu. Seperti ada perkara yang tidak selesai.

Saya menelepon suami, tetapi tidak berjawab. Sehinggalah saya dapat panggilan yang tidak disangka sama sekali. Panggilan dari pihak polisi yang menyatakan suami saya terlibat dalam kemalangan dan dikehendaki datang segera ke rumah sakit.

Saya bergegas ke rumah sakit, tetapi segala-galanya sudah terlambat. Allah lebih menyayangi suami saya dan saya tidak sempat bertemunya. Meskipun redha dengan kepergian suami, tetapi perasaan terkilan dan bersalah tidak dapat dikikis dari hati saya karena tidak melayaninya pada malam terakhir kehidupannya di dunia ini.

Hakikatnya itulah pahala terakhir untuk saya sebagai seorang isteri. Dan yang lebih saya takuti sekiranya dia tidak redha terhadap saya pada malam itu, maka saya tidak berpeluang lagi untuk meminta maaf daripadanya.

Sabda Rasulullah SAW, “Demi Allah yang jiwaku di tanganNya, tiada seorang suami yang mengajak isterinya tidur, tiba-tiba ditolah isterinya, maka malaikat yang di langit akan murka kepada isterinya itu, hingga dimaafkan oleh suaminya.”

Sehingga kini, setiap kali saya terkenang kepadanya, air mata saya akan mengalir ke pipi. Saya akan bermunajat dan memohon keampunan daripada Allah. Hanya satu cara saya fikirkan untuk menebus kesalahan itu, yaitu dengan mendidik anak-anak agar menjadi mukmin sejati. Agar pahala amalan merekan akan mengalir kepada ayah mereka. Hanya itulah khidmat yang dapat saya berikan sebagai isterinya. Itulah harapan saya… semoga Allah perkenankannya.

Sumber : Mutiara Amaly ^{Penyejuk Jiwa Penyubur Iman} Volume 19

Boleh jadi kamu membenci sesuatu,

padahal ia amat baik bagimu,

dan boleh jadi kamu menyukai sesuatu,

padahal ia amat buruk bagimu,

Allah Maha Mengetahui,

sedang kamu tidak mengetahui

(Al-Baqaral:216)