Bahan Renungan Menyambut Hari Ibu

BAGAI SANG SURYA

Selalu Memberi Tak Harap Kembali

“Perawat, boleh saya tengok bayi saya?” ibu muda yang baru bersalin itu bersuara antara dengan dan tidak kepada seorang jururawat.

Sambil tersenyum jururawat itu membawakan bayi yang masih merah itu. Si Ibu menyambut dengan senyum tertahan. Dibuka selimut yang menutup wajah manis itu, diciumnya berkali-kali begitu bayi tersebut berada di pangkuan.

Jururawat kemudian mengalihkan pandangannya keluar tingkap. Tidak sanggup dia bertatapan mata dengan si Ibu yang terperanjat melihat bayinya dilahirkan tanpa kedua daun telinga.

Namun terkejutnya cuma seketika. Dekapan dan ciuman silih berganti sehingga bayi yang sedang lena itu merengek. Dokter meyakinkan bahwa pendengaran bayi itu normal, sesuatu yang cukup menggembirakan si Ibu.

Masa Terus Berlalu…

Pulang dari sekolah suatu tengah hari, anak yang tiada daun telinga itu yang kini telah memasuki alam persekolahan menangis memberitahu bagaimana dia diajak rekan-rekan. “Mereka bilang saya cacat,” katanya kepada si Ibu. Si Ibu menahan sesak. Dibujuknya si anak dengan pelbagai kata semangat. Si anak menerimanya dan dia menjadi pelajar cemerlang dengan menyandang pelbagai kepengurusan di sekolah. Bagaimanapun tanpa daun telinga, si anak tetap merasa rendah diri. Walaupun si Ibu terus memujuk. Ayah anak itu menemui dokter. “Saya yakin dapat melakukannya jika ada penderma,” kata pakar bedah. Bermulalah suatu pencarian bagi mencari penderma yang sanggup berkorban.

Setahun Berlalu…

“Anakku, kita akan menemui dokter ujung minggu ini. Ibu dan Ayah telah mendapatkan seorang penderma, tapi dia mau dirinya dirahasiakan,” kata si Ayah. Pembedahan berjalan lancar dan akhirnya si anak meuncul sebagai manusia baru, pandai serta bijak. Pelajarannya tambah cemerlang dan rasa rendah diri yang kerap dialaminya hilang.

Rekan-rekan memuji kecantikan parasnya. Si anak cukup gembira, bagaimanapun dia tidak mengabaikan pelajaran. Pada usianya lewat 20-an, si anak menduduki jabatan tinggi dalam bidang diplomatik.

“Sebelum saya berangkat keluar negara, saya ingin tahu siapakah penderma telinga ini, saya ingin membalas jasanya,” kata si anak berkali-kali.

“Tak mungkin,” balas si Ayah. “Perjanjian antara Ayah dengan penderma itu masih berjalan. Tunggulah, masanya akan tiba.”

“Kapan?” tanya si anak.

“Akan tiba masanya anakku,” balas si Ayah sambil Ibunya mengangguk-angguk. Keadaan terus berlalu menjadi rahasia bertahun-tahun lamanya.

Hari yang Ditunggu Tiba Akhirnya..

Ketika sia anak berdiri disisi keranda Ibunya, perlahan-lahan si Ayah menyelak rambut Ibunya yang kaku.

“Ibumu tidak pernah memotong pendek rambutnya,” si Ayah berbisik ke telinga anaknya.

Gelap seketika pandangan si anak ketika melihat kedua daun telinga Ibunya tiada.

“Tetapi tiada siapapun pernah mengatakan Ibumu cacat, dia tetap cantik,, pada Ayah dia satu-satunya wanita paling cantik yang pernah Ayah temui.”

***

Selagi Ibu kita didunia ini, curahkanlah ketaatan dan penghormatan sepenuh kasih sayang kepadanya.

Dikutip dari : Mutiara Amaly^{Penyejuk Jiwa Penyubur Iman} Volume 19

Pengantar Renungan Menyambut Hari Ibu

SAYA KIRA WAKTU ITU IBU TIDAK PEDULI

DENGAN KEINGINAN SAYA

Ibu kembali ke rahmatullah ketika berusia 27 tahun. Terlalu muda sebenarnya untuk seorang Ibu berpisah dengan 5 orang anaknya yang masih kecil dan amat memerlukan kasih sayangnya.

Dia menghembuskan nafasnya setelah melahirkan adik bungsu saya yang juga turut menyusulnya tiga tahun kemudian. Saya baru berusia 10 tahun ketika itu.

Pada usia 7 tahun, saya dimasukkan ke sekolah sama seperti kanak-kanak lain. Setelah kira-kira 3 bulan, sekolah menilai saya tidak mampu mengikuti pelajaran. Akhirnya saya dimasukkan ke sebuah sekolah khusus untuk anak-anak cacat penglihatan. Saya terpaksa tinggal di asrama sekolah tersebut. Masa liburan sajalah baru saya berpeluang balik dan bermesra dengan keluarga.

Dalam waktu yang serba terbatas itu, ibu telah berusaha mengajarkan saya akan kehidupan ini. Meskipun saya cacat, dia tidak pernah menunjukkan sikap diskriminasi terhadap saya. Sebenarnya, ketika itu, hanya seorang saja adik saya yang dikurniakan penglihatan yang sempurna.

Yang lainnya, (kami bertiga), mempunyai masalah penglihatan. Tak dapat saya bayangkan betapa deritanya dia membesarkan kami. Disamping terpaksa bersusah payah di rumah, dia juga terpaksa menghadapi pandangan dan kata-kata orang kampung. Tapi dia tetap tabah dan senantiasa riang mesra bersama kami.

Pada waktu itu, kalau dapat makan lauk ayam, memanglah sungguh sedap. Kami agak bernasib baik karena ayam tak perlu beli. Kalau mau makan ayam, Cuma perlu tangkap saja. Ayah akan sembelih sebelum pergi kerja dan ibu akan memprosesnya dari mencabut bulunya hinggalah ayam itu siap dimasak.

Yang saya suka pada waktu itu ialah hati ayam. Suatu hari, saya bertanya kepada ibu bagaimana rupanya bentuk hati ayam sebelum dimasak. Ibu hanya diam saja.

Beberapa hari berikutnya, ayah sembelih ayam lagi. Sementara ibu memproses ayam tersebut, saya dan adik-adik bermain dibelakang rumah. Tiba-tiba ibu memanggil saya. Saya bertanya sambil bergegas menuju ke tangga dapur.

“Kemaren, kamu bilang ingin tengok hati ayam sebelum dimasak! Inilah dia!”

Ibu menghulurkan hati ayam yang sudah siap dibersihkan ke tangan saya. Terharu sungguh saya. Saya kira waktu itu Ibu tak peduli dengan keinginan saya itu. Selepas meraba hari ayam itu sepuas-puasnya, saya menghulurkannya kembali kepada ibu.

Begitulah ibu. Dia senantiasa berusaha memenuhi apa saja kehendak anak-anaknya terutama makanan. Sebut saja ingin makan apa. Dia akan berusaha menyediakannya.

Namun, apalah daya kita untuk menahan takdir dan ketentuan Allah. Bila dah sampai masanya, kita semua tetap akan pergi menemui-Nya.

Kepada yang masih mempunyai Ibu, jagalah Ibu baik-baik. Buat dia senantiasa gembira bersama kita semasa hayatnya masih ada.

Sumber : Mutiara Amaly^{Penyejuk Jiwa Penyubur Iman} Volume 19

PENGALAMAN PERTAMA NAIK INDONESIA AIR ASIA

Seingatku waktu itu selasa, 22 Mei 2007 sekitar pukul 17.00 WIB aku ke bandara Sutan Syarif Qasim II. Disana aku langsung menuji counter Air Asia untuk menanyakan tiket ketersediaan kursi pesawat untuk hari Kamis, 24 Mei 2007 tujuan Jakarta (dari Pekanbaru). Akhirnya aku mendapatkan tiket Air Asia untuk keberangkatan dari Pekanbaru menuju Jakarta pada hari Kamis, 24 Mei 2007 jam 08.15 dengan harga yang lebih mahal dari harga tiket standard Air Asia dengan rute yang sama jika pembelian tiket dilakukan via internet jauh-jauh hari sebelumnya. Tapi dibanding harga tiket maskapai lainnya aku lebih memilih Air Asia. Aku tidak tahu kenapa hatiku lebih memilih maskapai yang satu ini. Aku pikir waktu itu Air Asia sebuah maskapai yang tergolong baru dibanding maskapai lainnya. Logika saya waktu itu, armada pesawatnya akan lebih baru dari maskapai lainnya (kecuali Garuda). Karena untuk beli tiket Garuda rasanya sudah tidak mungkin, aku lebih memilih Air Asia.

Kamis, 24 Mei 2007 aku telah berada di Bandara Sutan Syarif Qasim Check In dan mulai memasuki pesawat. Cuaca cukup cerah waktu itu. Hal ini sedikit mengurangi kecemasanku naik pesawat. Maklum berita-berita tentang kecelakaan pesawat sebelumnya semakin membuat hati cemas jika harus bepergian menggunakan pesawat. Aku belum punya sedikit gambaran waktu dari terminal penumpang melangkah menuju pesawat akan memilih tempat duduk dimana. Sewaktu memasuki pintu pesawat, aku langsung diarahkan oleh pramugari untuk duduk di deretan kursi paling depan bagian tengah yang masih kosong waktu, “Sendiri ya? Disini aja.” Kata Pramugari Air Asia dengan pakaian yang serba merah sambil menunjuk kursi yang dimaksud. Akhirnya aku duduk dan mematikan HP ku yang masih hidup waktu itu. Tak kusangka sewaktu itu Pramugari tersebut langsung marah kepadaku sambil mengingatkan bahwa pesawat sedang melakukan pengisian bahan bakar. Terdapat beberapa kesan dihati saya setelah dia marah-marah. Pramugarinya bisa marah ya? Biasanya seorang Pramugari orientasinya kepada pelayanan dan service yang memuaskan. Saya langsung menilai, maskapai murah, gaji karyawannya juga murah atau karena lantai pesawat dan baju yang dikenakannya berwarna merah? He..he.. Selama ini saya menduga, Pramugari dan para kru pesawat Air Asia itu adalah orang Malaysia. Tapi sewaktu dia marah tadi, saya dengar logat melayunya tidak kelihatan. Ada kebanggaan di hati saya bahwa tenaga kerja yang diambil untuk Perusahaan tersebut bukan orang malaysia, tapi orang Indonesia. Sewaktu dia marah, saya bukannya dongkol atau balas memarahi. Tapi saya bangga Pramugari tersebut ‘sense of safety’ nya cukup tinggi.

Tidak terlalu lama saya duduk, pintu pesawat ditutup. Saya bersama dua orang dikiri dan kanan saya dimintai kesediaan oleh Pramugari untuk membuka pintu darurat jika pesawat dalam keadaan darurat dan dia tidak bisa menjalankan tugasnya. Kami bertiga menyatakan bersedia. Selanjutnya Pramugari tersebut melakukan peragaan cara membuka pintu darurat kepada kami bertiga. Setelah itu pesawat masih belum bergerek, bahkan direm. Saya mulai cemas, jangan-jangan ada yang tidak beres. Ternyata pesawat menunggu izin dari ATS untuk take off, karena ada pesawat Riau Airline yang landing. Selanjutnya pramugari tadi siap-siap mengambil posisi duduk mengantisipasi pesawat take off nanti. Hal yang cukup menegangkan sekaligus menambah kecemasan saya, disaat pesawat mengambil landasan untuk take off. Tiba-tiba dideratan belakang kursi saya (deretan kedua) bagian kanan, ada salah seorang penumpang yang belum mematikan hp. Ketahuannya karena ada panggilan masuk dan dia melakukan pembicaraan. Hal ini membuat Pramugari tadi marah besar. Melalui pengeras suara dia memerintahkan penumpang tersebut untuk mematikan hp. Jika tidak dia mengancam akan meminta pilot untuk kembalikan pesawat ke apron. Apa karena tiketnya murah, penumpang yang naik juga kolot? Kalau terjadi sesuatu langsung menyalahkan maskapai? Apakah orang desa itu kolot? Atau yang penampilannya yang necis itu pemikirannya juga modern? Atau yang banyak uang, tinggal di kota, memiliki banyak uang itu modern? Saya lihat penumpang tersebut bukan orang dari desa, punya banyak uang, dan penampilan necis. Sebaiknya mungkin sebelum menaiki pesawat, para penumpang diberitahu dulu bagaimana bahaya penggunaan hp didalam pesawat terhadap penerbangan. Atau para penumpang yang memiliki hp, hpnya dititipin dulu kepada kru pesawat, baru setelah turun diberikan lagi. Karena sewaktu pesawat baru landing, banyak diantara penumpang yang telah berhp ria didalam pesawat, sementara, pesawat masih membutuhkan komunikasi bebas gangguan sampai tiba di appron. Saya salut dengan Pramugari tersebut waktu itu.

Akhirnya pesawat take off dari bandara dengan mulus. Terlihat dengan jelas oleh saya pramugari tadi yang duduk persis didepan saya menghadap kebelakang. Mulutnya terlihat berkomat-kamit, berdoa kali ya? Sekilas wajahnya kelihatan tegang. Aku sangka karena sudah biasa, pramugari tersebut tidak akan tegang lagi untuk terbang. Tapi dugaan saya lain. Baru setelah berhasil mencapai ketinggian yang normal, saya agak sedikit tenang. Sekali-sekali saya melihat keluar, karena posisi saya ditengah, jadi tidak begitu bebas lihat kejendela. Kadang-kadang pesawat melintasi sungai. Terlihat pesawat mendekat kearah laut, lalu menjauh lagi. Pesawat menyusuri pantai timur sumatera kali ya. Cukup lama dan membosankan dalam suasana seperti ini. Kulihat jam tangan penumpang disebelahku, berharap waktu telah menunjukkan pukul 10.00 yang berarti penerbangan telah memakan waktu 1,5 jam. Tapi ternyata, jam tangan penumpang tersebut menunjukkan waktu pukul 09.30. Kok rasanya sudah lama sekali saya duduk dalam pesawat ini.

Telinga saya nyaring sekali mendengar suara mesin atau apa saja yang agak lain. Saya mendengar ada bagian bunyi mesin yang menghilang(tidak terdengar lagi). Kemudian terasa pesawat tidak bertenaga, rasanya pesawat menurun. Namun saya tidak bisa memastikannya karena saya duduk didepan, tidak seperti kalau duduk dibelakang, bisa merasakan dan melihat bagian depan. Tidak lama setelah itu terlihatlah lampu split belt menyala, yang berarti penumpang diminta mengenakan sabuk pengaman. Hatiku mulai bertanya-tanya, kenapa baru satu jam sudah diperintahkan pasang sabuk pengaman? Kemudian bagian bunyi mesin yang menghilang tadi muncul lagi. Terasa pesawat menekan keatas, naik. Jangan-jangan mau mendarat darurat. Dugaanku tadi diperkuat dengan nampaknya garis pantai. Kamipun diatas permukaan laut ketika itu. Saya mulai siap-siap dan berfikir, kalau mendarat darurat dilaut, apa yang harus saya lakukan. Kemudian hatiku mulai sedikit tenang ketika pramugari mengumumkan pesawat akan sampai dan landing di Bandara Soekarno-Hatta (Cengkareng). Mungkin laut tadi selat sunda kali ya. Namun setelah itu pesawat memasuki cuaca buruk. Langit yang tadinya cerah, berubah menjadi gumpalan-gumpalan hitam. Pesawat memasuki awan-awan hitam tersebut. Terasa sekali laju pesawat terhambat oleh awan-awan tersebut. Aku lihat jendela disamping, hitam. Tidak bisa melihat kemanapun. Pesawat beberapa kali goyang dan terasa ada dorongan dan terdengar bunyi mesin pesawat mengeras. Namun pesawat segera lepas dari cuaca tersebut. Walau Cuma sebentar namun cukup memacu adrenalin. Setelah itu cuaca kembali cerah dan kelihatan kelihatan bukit disebelah kanan. Aku menduga itu adalah Gunung Salak. Tak lama setelah itu pesawat melakukan landing. Mulus sekali terasa. Mungkin karena aku duduk didepan. Terasa seperti mobil yang sedang melewati jalan bergelombang setelah pesawat landing menuju appron. Kondisi landasan di Cengkareng mungkin tidak rata. Setelah pesawat berhasil landing, pramugari menjelaskan penerbangan lebih cepat 15 menit dari biasa. Kalau diberikan kesempatan bertanya, saya akan mengajukan pertanyaan (seperti seminar aja), kok bisa? Karena cuaca atau karena pilotnya? Senang sekali hatiku ketika pesawat telah berjalan menuju appron. Setelah pintu dibuka, sayapun turun dan mengambil bagasi. Sambil ke menuju tempat pengambilan bagasi, saya baru menghidupkan hp dan memberitahukan kepada orang tua dan teman-teman bahwa saya telah sampai di Cengkareng dengan selamat. Setelah sampai di bagasi, saya mengambil tas. Tapi saya tidak diperiksa sedikitpun sewaktu mengambil bagasi. Seandainya saya mengambil tas penumpang lain yang masih dibelakang waktu itu, mungkin tidak akan ketahuan. Karena tidak ada petugas yang memeriksa bagasi. Apakah memang seperti itu layanan Air Asia di Cengkareng?

Demikian pengalaman saya pertama naik Air Asia. Lain waktu saya akan menulis pengalaman naik Garuda Indonesia Airlines.

Pembahasan Soal Mid Semester Analisis Algoritma

PROGRAM PASCA SARJANA, S2 ILMU KOMPUTER

SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER I TAHUN 2007/ 2008

Mata Ujian : Analisis Algoritma

Hari/ tanggal : Kamis, 8 Nopember 2007

Waktu : 120 menit

Sifat Ujian : Hanya boleh membuka catatan kuliah

Penguji : Retantyo Wardoyo

Jawaban ini belum tentu benar. Jika ada yang punya jawaban berbeda, mohon di share dan didiskusikan bersama. Terima kasih.

Soal No 1:

Buktikan dengan induksi matematika pernyataan berikut:

a. n! ≤ 2 ⁿ untuk n > 3

Jawab :

Terdapat beberapa langkah pembuktian dengan induksi matematika:

Langkah 1:

Menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n₀ = 4.

n = 4 --> 4! ≤ 2⁴

4.3.2.1 ≤ 16

24 > 16

Jadi pernyataan n! ≤ 2 ⁿ untuk n > 3 tidak benar (salah) untuk n = 4

Dengan demikian pembuktian selesai, pernyataan tersebut tidak benar।

b. 1 (1!) + 2 (2!) + 3 (3!) + … + n (n!) = ( n + 1 )! – 1

Jawab:

Terdapat beberapa langkah pembuktian dengan induksi matematika:

Langkah 1:

Menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n₀ = 1.

n = 1 --> 1 (1!) = (1 + 1)! – 1

1.1 = 2! – 1

1 = 2 – 1

1 = 1

Jadi pernyataan tersebut benar untuk n = 1

Langkah 2:

Menunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk n = k, maka pernyataan tersebut juga benar untuk n = k + 1. Hal ini dilakukan dengan cara :

- Mengasumsikan pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1, yaitu

n = k --> 1 (1!) + 2 (2!) + 3 (3!) + … + k (k!) = ( k + 1 )! – 1

- Selanjutnya akan ditunjukkan pernyataan tersebut juga benar untuk n = k + 1.

Dari asssumsi diatas :

1 (1!) + 2 (2!) + 3 (3!) + … + k (k!) = ( k + 1 )! – 1

Tambahkan (k + 1) ( k + 1 )! pada kedua ruas.

1 (1!) + 2 (2!) + 3 (3!) + … + k (k!) + (k + 1) (k + 1)! = (k + 1)! – 1 + (k+1)(k+1)!

1 (1!) + 2 (2!) + 3 (3!) + … + k (k!) + (k + 1) (k + 1)! = (k + 1)! + (k+1)(k+1)! – 1

1 (1!) + 2 (2!) + 3 (3!) + … + k (k!) + (k + 1) (k + 1)! = (k + 1)! (1 + (k+1)) – 1

1 (1!) + 2 (2!) + 3 (3!) + … + k (k!) + (k + 1) (k + 1)! = (k + 1)! (k +1 + 1) – 1

1 (1!) + 2 (2!) + 3 (3!) + … + k (k!) + (k + 1) (k + 1)! = (k + 1)! (k+2) – 1

1 (1!) + 2 (2!) + 3 (3!) + … + k (k!) + (k + 1) (k + 1)! = (k + 2)(k + 1)! – 1

1 (1!) + 2 (2!) + 3 (3!) + … + k (k!) + (k + 1) (k + 1)! = (k + 2)! – 1

1 (1!) + 2 (2!) + 3 (3!) + … + k (k!) + (k + 1) (k + 1)! = ((k + 1)+1)!– 1

Jadi pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1

Pembuktian selesai

c।

Jawab:

Langkah 1:

Menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n₀ = 1.

n = 1 --> 1 ² =

Jadi pernyataan tidak benar untuk n = 1

Dengan demikian pembuktian selesai, pernyataan tersebut tidak benar.

d।

Jawab:

Langkah 1:

Menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n₀ = 1.

n = 1 à 2 = 2 + (1 - 1) 2¹⁺¹

2 = 2 + 0 . 2²

2 = 2 + 0

2 = 2

Jadi pernyataan tersebut benar untuk n = 1

Langkah 2:

Menunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk n = k, maka pernyataan tersebut juga benar untuk n = k + 1. Hal ini dilakukan dengan cara :

- Mengasumsikan pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1, yaitu

n = k à 2 + 8 + 24 + … + k 2^k = 2 + (k – 1) 2^{k + 1}

- Selanjutnya akan ditunjukkan pernyataan tersebut juga benar untuk n = k + 1.

Dari asssumsi diatas :

2 + 8 + 24 + … + k 2^k = 2 + (k – 1) 2^k+1

Tambahkan (k + 1) 2^k+1 pada kedua ruas.

2 + 8 + 24 + … + k 2^k + (k + 1) 2^k+1 = 2 + (k – 1) 2^k+1 + (k + 1) 2^k+1

2 + 8 + 24 + … + k 2^k + (k + 1) 2^k+1 = 2 + 2^k+1 ((k - 1) + (k + 1))

2 + 8 + 24 + … + k 2^k + (k + 1) 2^k+1 = 2 + 2^k+1 ( k -1 + k + 1)

2 + 8 + 24 + … + k 2^k + (k + 1) 2^k+1 = 2 + 2^k+1 ( 2k)

2 + 8 + 24 + … + k 2^k + (k + 1) 2^k+1 = 2 + 2^k+1 .2( k)

2 + 8 + 24 + … + k 2^k + (k + 1) 2^k+1 = 2 + 2^k+1+1 (k)

2 + 8 + 24 + … + k 2^k + (k + 1) 2^k+1 = 2 + 2 ^k+1+1 ( k )

2 + 8 + 24 + … + k 2^k + (k + 1) 2^k+1 = 2 + ( k ) 2 ^(k+1)+1

2 + 8 + 24 + … + k 2^k + (k + 1) 2^k+1 = 2 + ( k + 0 ) 2 ^(k+1)+1

2 + 8 + 24 + … + k 2^k + (k + 1) 2^k+1 = 2 + ( k + 1 - 1 ) 2 ^(k+1)+1

2 + 8 + 24 + … + k 2^k + (k + 1) 2^k+1 = 2 + ( (k + 1) - 1 ) 2 ^(k+1)+1

Jadi pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1

Pembuktian selesai

Soal No 2:

Diketahui matriks . Hitunglah determinan dan inversnya.

Jawab :

Determinan matriks =

Operasi pada baris ke- 2 : baris ke-2 dikurang (-2) kali baris ke-1

Operasi pada baris ke- 3 : baris ke-3 dikurang (-1) baris ke-1

=

Operasi pada baris ke- 3 : baris ke-3 dikurang (-4) kali baris ke-2

Operasi pada baris ke- 4 : baris ke-4 dikurang (-4) kali baris ke-2

=

Operasi pada baris ke- 4 : baris ke-4 dikurang baris ke-3

=

= (-1) x (-1 ) x 11 x

= - 47

Invers Matriks

Operasi baris elementer

Operasi pada baris ke- 2 : baris ke-2 dikurang (-2) kali baris ke-1

Operasi pada baris ke- 3 : baris ke-3 dikurang (-1) baris ke-1

=

Operasi pada baris ke-3 : baris ke-3 dikurang (-4) kali baris ke-2

Operasi pada baris ke-4 : baris ke-4 dikurang (-4) kali baris ke-2

=

Operasi pada baris ke-4 : 11 kali Baris ke-4 dikurang 13 kali baris ke-3

=

Operasi pada baris ke -1 : 47 kali Baris ke-1 tambah 3 kali baris ke-4

Operasi pada baris ke -2 : 47 kali baris ke-2 tambah 7 kali baris ke-4

Operasi pada baris ke -3 : 47 kali baris ke-3 tambah 29 baris ke-4.

=

Operasi pada baris ke -2 : 517 kali baris ke-2 kurang 141 kali baris ke-3

=

Operasi pada baris ke -1 : 24299 kali baris ke-1 kurang 94 kali baris ke-2

=

Operasi pada baris ke -1 : baris ke-1 kali

Operasi pada baris ke -2 : baris ke-2 kali

Operasi pada baris ke -3 : baris ke-3 kali

Operasi pada baris ke -4 : baris ke-4 kali

=

Jadi invers matriksnya =

3. Soal :

Ubahlah ekpresi rekursif berikut menjadi non rekursif.

a.

Jawab :

Persamaan Karakteristik homogen

: xn-2

f(n) = xⁿ

xⁿ = 4x^n‑1 + 12x^n-2

x² = 4x + 12

x² - 4x - 12 = 0

(x + 3) (x – 4) = 0

Persamaan Karakteristik non homogen

2ⁿ n à c = 2, d = 1

à (x – 2)^{1 + 1} = (x – 2)²

(x + 3) (x – 4) (x – 2)² = 0

x₁ = -3 x₂ = 4 x₃ = x₄ = 2

f(n) = c₁ x₁ⁿ + c₂ x₂ⁿ + (c₃ + c₄ n) x₃ⁿ

f(n) = c₁ (-3)ⁿ + c₂ (4)ⁿ + (c₃ + c₄ n) 2ⁿ

n = 1 à f(1) = c₁ (-3)¹ + c₂ (4)¹ + (c₃ + c₄ 1) 2¹ = 1² + 1

f(1) = - 3 c₁ + 4 c₂ + 2 c₃ + 2 c₄ = 2

n = 2 à f(2) = c₁ (-3)² + c₂ (4)² + (c₃ + c₄ 2) 2² = 2² + 1

f(2) = 9 c₁ + 16 c₂ + 4 c₃ + 8 c₄ = 5

n = 3 à f(3) = c₁ (-3)³ + c₂ (4)³ + (c₃ + c₄ 3) 2³ = 4 f (3 – 1)+ 12 f (3 -2) + 2³ .3

f(3) = - 27 c₁ + 64 c₂ + 8 c₃ + 24 c₄ = 4 f (2)+ 12 f (1) + 24

f(3) = - 27 c₁ + 64 c₂ + 8 c₃ + 24 c₄ = 4.5+ 12.2 + 24

f(3) = - 27 c₁ + 64 c₂ + 8 c₃ + 24 c₄ = 20+ 24 + 24

f(3) = - 27 c₁ + 64 c₂ + 8 c₃ + 24 c₄ = 68

n = 4 à f(4) = c₁ (-3)⁴ + c₂ (4)⁴ + (c₃ + c₄ 4) 2⁴ = 4 f (4 – 1)+ 12 f (4 -2) + 2⁴ .4

f(4) = 81 c₁ + 256 c₂ + 16 c₃ + 64 c₄ = 4 f (3)+ 12 f (2) + 64

f(4) = 81 c₁ + 256 c₂ + 16 c₃ + 64 c₄ = 4.68+ 12.5 + 64

f(4) = 81 c₁ + 256 c₂ + 16 c₃ + 64 c₄ = 272+ 60 + 64

f(4) = 81 c₁ + 256 c₂ + 16 c₃ + 64 c₄ = 396

Untuk mencari nilai c₁, c₂, c₃, c₄ dapat dilakukan dengan metode eliminasi, substitusi atau dengan eliminasi gauss. Dalam hal ini kita selesaikan dengan menggunakan eliminasi gauss.

=

b.

Substitusi n = 3^m , m = ³ log n

Substitusi f(3^m) = g(m)

Persamaan Karakteristik homogen

: xm-2

g(m) = x^m

x^m = 2x^m‑1 + 10x^m-2

x² = 2x + 10

x² - 2x + 10 = 0

Persamaan Karakteristik non homogen

2ⁿ n à c = 2, d = 1

à (x – 2)^{1 + 1} = (x – 2)²

(x + 3) (x – 4) (x – 2)² = 0

x₁ = -3 x₂ = 4 x₃ = x₄ = 2

f(n) = c₁ x₁ⁿ + c₂ x₂ⁿ + (c₃ + c₄ n) x₃ⁿ

f(n) = c₁ (-3)ⁿ + c₂ (4)ⁿ + (c₃ + c₄ n) 2ⁿ

n = 1 à f(1) = c₁ (-3)¹ + c₂ (4)¹ + (c₃ + c₄ 1) 2¹ = 1² + 1

f(1) = - 3 c₁ + 4 c₂ + 2 c₃ + 2 c₄ = 2

n = 2 à f(2) = c₁ (-3)² + c₂ (4)² + (c₃ + c₄ 2) 2² = 2² + 1

f(2) = 9 c₁ + 16 c₂ + 4 c₃ + 8 c₄ = 5

n = 3 à f(3) = c₁ (-3)³ + c₂ (4)³ + (c₃ + c₄ 3) 2³ = 4 f (3 – 1)+ 12 f (3 -2) + 2³ .3

f(3) = - 27 c₁ + 64 c₂ + 8 c₃ + 24 c₄ = 4 f (2)+ 12 f (1) + 24

f(3) = - 27 c₁ + 64 c₂ + 8 c₃ + 24 c₄ = 4.5+ 12.2 + 24

f(3) = - 27 c₁ + 64 c₂ + 8 c₃ + 24 c₄ = 20+ 24 + 24

f(3) = - 27 c₁ + 64 c₂ + 8 c₃ + 24 c₄ = 68

n = 4 à f(4) = c₁ (-3)⁴ + c₂ (4)⁴ + (c₃ + c₄ 4) 2⁴ = 4 f (4 – 1)+ 12 f (4 -2) + 2⁴ .4

f(4) = 81 c₁ + 256 c₂ + 16 c₃ + 64 c₄ = 4 f (3)+ 12 f (2) + 64

f(4) = 81 c₁ + 256 c₂ + 16 c₃ + 64 c₄ = 4.68+ 12.5 + 64

f(4) = 81 c₁ + 256 c₂ + 16 c₃ + 64 c₄ = 272+ 60 + 64

f(4) = 81 c₁ + 256 c₂ + 16 c₃ + 64 c₄ = 396